将一系列频率不同，初相角不同的正弦信号多次变换并叠加，期望构造出一个信号能最大程度的逼近原始信号的方法是传统信号分析常用的方法。但实际的信号并不都是由规则的光滑信号组成的，这使重构信号与原始信号近似的程度上有着很大的差距。而小波变换的实现过程是将原始信号不断细分，靠选定的小波基经过多次尺度与位移变换，得到一组各不相同的函数，将这些函数选择性的进行叠加，最终叠加后的重构信号即为逼近信号，这种新型的重构信号方法比传统的傅里叶变换效果更好。
1.小波理论
数学上对“小波”的定义如下：
设Ψ(x)∈L2(R)（L2(R)代表这个空间中的所有实数是平方可积的），且
，Ψ(w)为原函数经傅里叶分解后的函数。
若基本小波函数Ψ(w)可以完全满足CΨ的条件，则小波变换适用于满足允许条件的任意小波基函数Ψ(x)。其中，允许条件
。
假设某个基本小波函数为Ψ(x)，将该函数经伸缩和平移后可得：
将上式称为一个小波序列，每个满足要求的函数称为小波基。其中a称为尺度参数(又叫伸缩因子)，代表信号处理的分辨率；b称为位移参数(又叫平移因子)，由名称可知，a与频域分析相对应，b则对应时域分析。
常见的基本小波函数有：
其他常见的小波还有Coiflet(coifN)小波、Meyer小波、SymletsA(symN)小波、Biorthogonal(bioNr.Nd)小波、Daubechies(dbN)小波，不同的小波有着各自不同的特性，其中dbN系小波常用来对信号进行多尺度分解与重构，对信号起着滤波作用。
小波基的选取严重影响了信号分析的准确性，小波基不同其变换后的波形也不尽相同。因此，选用不同的小波函数或者对同一小波函数在不同的尺度下对同一信号进行分解，得到的结果会不一样。
2.多尺度分析和Mallat算法
2.1 多尺度分析
多尺度分析又称多分辨率分析是根据不同的情况采用不同的分辨率尺度来进行小波变换，从而可以将所有待分解的信号分解到两个频率不同但互相正交的范围内，这样信号的一些信息将被获得。多尺度分析的目的主要是为了获得并分解信号的低频部分，保留高频噪声细节信号，这样可以让分解出来的低频有用部分进行下次分解时分辨率减半，多次分解提高频率分辨率，使最后重构信号更靠近原始信号。
多尺度分析是用多个近似函数的极限逼近原信号函数，下图是小波三层分解的示意图，其中s表示获取的原始信号，G(w)表示高频信号，H(w)表示需要进行分解的低频信号。
如上图所示，是一个信号的三层小波分解图，在对每一层进行分解时，只有低频信号被分解，高频细节信号保留下来。由此可得，其分解关系式为：
2.2 Mallat算法
1989年，Mallat在小波变换多分辨率分析理论与图像处理的应用研究中受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨率分析与重构的快速算法称为马拉特（Mallat）算法。
Mallat一维分解公式如下：
3.模极大值求奇异点
当信号受到扰动时，电压或电流会瞬时突变出现波峰形成极值点，在小波变换中与模极大值求出的奇异点相对应的是获取的暂态信号的突变点，电缆故障检测技术中最重要的便是要发现故障点的具体位置，而信号的奇异点信息代表的就是故障点位置。因此利用小波变换可以精准的将信号的尖峰和突变等局部位置信息判断出来，通过模极大值检测算法可以找出更加接近于断点位置的反射脉冲的波前时刻，突变点产生的时刻对应于电缆发生故障处的位置，从而提高整个系统测量结果的精度。
设s为小波变换的尺度，则Wf(s,x0)为小波变换在x0处的变换系数，对于任意的变量x，如果在x0的邻域内都能满足以下条件：|Wf(s,x)|≤|Wf(s,x0)|，称点x0为原始信号经过s尺度的分解与重构后的模极大值点，模极大值点对应的小波系数模值|Wf(s,x0)|为模极大值。
若一个基本小波函数为θ(x)，且它是一个低通滤波函数，母小波函数Ψ(x)在尺度因子a的伸缩变换下可得如下小波函数：
由上式可知，小波函数Wf(a,x)与原始信号f(x)的一阶导数成正比，因信号的突变点与模极大值的奇异点是逐一对应的，则小波函数的一阶导数代表的就是信号的突变点，即故障发生的具体位置，根据上述原理可以利用模极大值来进行故障定位。
4.小波去噪
4.1 去噪原理
在实际工程中，低频部分包含了大量的有用信号和少许的小震荡信号，而那些高频信号大多是外界环境中的噪声信号，所以小波去噪是指主要消去信号中的高频分量即G1(w)、G2(w)、G3(w)，保留信号中的低频分量，尽量使信号中有用的信号占大比例，这样大大提高有用信号的提取精度。低频有用信号主要存在于信号的近似部分中，高频噪声信号主要分布在细节部分，因此，我们要采取另外的方法将这部分噪声信号去除，目前去噪的方法多种多样，最为常用的是阈值法，其去噪基本步骤如下：
(1)小波分解：选好基本母小波对采集的原始信号进行多尺度分析，分解尺度为J层。通常情况下，小波分解尺度越大，信号去噪效果会越好，但分解层数较高时去噪效果提高的不明显甚至出现信噪比降低的可能，因此分解尺度J必须选择一个合适的值，一般取3~5层。
(2)阈值处理量化：小波阈值处理中需要特别注意阈值选取以及阈值函数的选取，这两个关键因素的选取是否恰当会对最后的消噪结果产生很大的影响。
(3)小波重构：将经过前面两步处理过后的小波系数进行小波重构，使重构的新信号中不含噪声，实现滤波去噪效果。
4.2 经典阈值选取规则
