傅里叶变换与小波变换

1.傅里叶变换
1.1 离散傅里叶变换

我们知道傅里叶级数的基函数具有正交性，可简化计算，如果傅里叶级数收敛，则该函数可以被部分和逼近。首先定义：设函数x(t)在[0,2π]中的N个等分点的值分别为x(n)，n=0,1,.…….,N-1，称：

为x(n)的离散傅里叶变换，称：

为X(k)的离散傅里叶逆变换。

1.2 连续傅里叶变换

如果下列积分存在，我们称：

为x(t)的连续傅里叶变换。

连续傅里叶逆变换为：

从上式中可以看到连续傅里叶变换是将时域(空间)变量t∈R为自变量的函数x(t)化为以频率w为自变量的函数F(jw)，连续傅里叶逆变换是将以频域变量w为自变量的函数F(jw)化为原来的时域函数x(t)，这就出现了不足了。当一个信号经过傅里叶变换到频域时，变换后时间信息完全被丢失了，我们也就没有办法去确定信号是在什么时候发生的，也就是说，它在时域里没有任何分辨能力或者说是任何定位性，虽然傅立叶变换能够分别分析信号的时频域，同时也能研究信号的时域特征和频域特征，但是它不能把时域和频域放在一起研究，暴露出它的严重不足。比如在分析一个平稳信号，它在一定时间域中变化是稳定的，对时间定位也许不是特别重要，但是在平时生活中大部分信号都包含有非平稳的因素如突变、偏移、事件开始等，在这些信号的非稳定情况是非常重要的，它包含了信号的重要特征，例如通常需要某一频率段所对应的时间信息以及某一时刻、时间段的信息。因此需寻找一种新的信号分析方法，它需具备一定的同时分析时域和频域“局部”的能力。

2.窗口傅里叶变换（Gabor变换）

为了描述信号的时频局部化特征，克服傅里叶变换的缺点，Gabor于1946年提出 Gabor变换，也叫短时傅里叶变换，它的基本思想是给信号加上一个小窗口，让傅里叶变换主要集中在窗口进行，从而反应出信号的局部特征。窗口傅里叶变换定义如下：

为窗口傅里叶变换记为G_f(w,b)，g(t)称为时窗函数。一般地，在|t|> t₀时迅速趋于0的“钟形函数”是我们首选的时窗函数。这样f(t)乘以平移滑动的窗函数g(t-b)后能够有效的控制t=b领域外的信号，如 Gauss函数：

相比传统傅里叶变换，虽然短时傅里叶变换在某种程度上具有了“局部”分析的能力，应用也越来越多，但是它自身也有一定不足，这个窗口一旦确定后，其大小和形状均不变。我们知道，低频信号和高频信号的持续时间的变化是不同的而是相反的，低频信号有较长的持续时间，我们要求较宽的时间窗来分析，高频信号时间持续较短，则要求较短的时间窗来分析，然而这就与短时傅里叶变换的窗口是固定的相矛盾了。

3.小波变换

小波变换的优点恰好弥补了短时傅里叶变换的不足，小波变换保留和发展了短时傅里叶变换能“局部”分析信号的能力，同时其窗口大小、形状均可改变、且有离散化正交基，是一种理想的处理非平稳信号的方法。

3.1 连续小波变换

设f(t)、Ψ(t)均为平方可积函数，且

则称下面的积分变换为连续小波变换(Continuous Wavelet transform)。

由上式可以看出连续小波变换是一个二元函数，它把一元函数f(t)变换成时间和频域平面上的二元函数(T_Ψf)(a,b)。

假设任意基本小波Ψ(t)的中心和半径为别是τ，△_Ψ，Ψ(t)的傅里叶变换的中心和半径分别是w，△_r，由上式可看出小波变换将信号f(t)限制在时间窗[b+aτ-a△_Ψ，b+aτ+a△_Ψ]和频率窗[a^-1w-a^-1△_r，a^-1w+a^-1△_r]之内，且窗口面积是一个确定不变的且与时间和频率均无关的常数，为4△_Ψ△_r。因时间窗随尺度因子a增加时而变宽，频率窗与此相反变窄，所以在此情况下特别适合提取信号中的低频部分，当尺度因子a变小时，则相应的适合提取出信号中的高频部分，因此有数学家称小波分析为“数学显微镜”。如下图：

3.2 离散小波变换

我们知道，在连续小波变换中，尺度因子a、时间t及偏移量b都是连续变换的，然而由于计算机的特点，在用其处理时，必须将其离散化，所以将尺度因子a和偏移量b离散化得出的变换就叫做离散小波变换。

3.3 二进制小波变换

根据离散小波变换的情况，二进制小波变换则只是对a进行离散化，没有对b作离散化，具有连续小波变换的时移不变性，在信号检测、图像处理中有广泛应用。

4.小波包分解

小波包分解可以将信号分解得更为精细，是对小波变换的细节部分进一步再分解的方法。下图是小波变换与小波包分解的对比示意图，把信号做三层小波分解和小波包分解。

从图中我们看到小波分解只对尺度空间进行分解，未对小波空间(细节部分)进行再分解，而小波包则与此不同，不仅分解了尺度空间，还对小波空间进行了再分解，是一种多级频率分解，是信号分析中更加精细的一种频率分析方法。