EMD、EEMD和HHT介绍

1.EMD

1998年一种新型的信号处理方法，经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)被美籍华人Huang.E.教授创新性的提出。这种方法主要是针对非线性且不平稳的数据，根据信号自身的时间尺度在时频域进行自适应分析，使信号体现出时频聚集性。EMD和小波变换有着本质性的差别，EMD分解思想是把原始信号分解成有限个具有瞬时频率与幅度都可调的本征模态分量及一个残差(residual)的和，各模态分量中包含的频率成分不同，通过选择合适的模态分量，便可将信号的不同频率成分有效的分离。小波变换并不能根据信号自身的特性来进行分解，而是需要事先选择合适的小波基与恰当的分解层数，这些人为选择的因素很容易使信号分解与重构后不能完整地达到预期，而EMD分解避免了这方面的问题，所以该方法和小波变换相比有一定的优势。

1.1EMD分解步骤

假设原始信号为X(t)，则：
(1)识别原始信号中极大值与极小值，用三次样条曲线分别连接所有局部极大值与极小值，得到上包络线U(t)和下包络线L(t)，指定上下包络平均值为m₁(t)，则有：

(2)用原始信号减去m₁(t)得到一个新的数据序列h₁(t)：

(3)判断序列h₁(t)是否满足IMF要求：在整个数据集中，极值点的数量和过零点的数量须相等或仅相差一个；在任何一点，由局部极大值定义的包络和由局部极小值定义的包络的均值为零。若满足前述两个条件则将h₁(t)记为c₁(t)，进行第(4)步；若不满足则将h₁(t)作为原始数据重复上述抽取过程直至满足要求。

(4)计算原始信号X(t)与IMF分量c₁(t)的差值，记为r₁(t)：

(5)将r₁(t)看作是新的原始数据，继续同样的抽取过程。对随后所得序列r_j(t)重复所有步骤可得：

直到剩余分量r_n(t)为单调函数或r_n(t)的值小于给定的阈值，才停止抽取过程。至此得到一组内模函数c_i(t)与一个剩余量r_n(t)，从而原始信号可表示为：

1.2端点效应

EMD分解过程中需要依据极值点进行三次样条插值，而在信号两端无法判断端点是否为极值点，因此在进行端点包络拟合时会产生极值包络拟合发散现象。并且这种发散的结果会随着分解过程的不断进行逐渐向内“污染”整个数据序列而使所得结果严重失真，这就是端点效应。EMD端点效应解决方法，如下图所示。

1.3模态混叠

EMD分解过程首先需要确定信号的局部极值点，然后用三次样条线将所有的局部极大值和极小值分别连接起来形成上下包络线，再由上下包络线得到均值曲线。在求取包络线的过程中，当信号中存在异常事件时，势必影响极值点的选取，使极值点分布不均匀，从而导致求取的包络为异常事件的局部包络和真实信号包络的组合。经该包络计算出的均值，再筛选出的IMF分量就包含了信号的固有模式和异常事件或者包含了相邻特征时间尺度的固有模式，从而产生了模式混叠现象。

Huang认为引起模式混叠现象的原因主要在于间歇现象，而引起间歇现象的往往是异常事件（如间断信号，脉冲干扰和噪声等）。

根据以上可知，模态混叠会导致错误的IMF分量，从而使IMF丧失具体的物理意义。目前解决模式混叠现象较好的方法是Huang提出的EEMD。

2.EEMD

从上述分析可知，EMD分解的理想情况是假设信号在时频域上呈均匀分布，但在实际分解过程会因为瞬态脉冲带来的极值突变而产生模态混叠缺陷，丢失一部分的时间或频率尺度，从而使分解后的IMF分量无法完美还原原始信号的特征，有误差产生，影响最终的故障定位效果。Huang针对EMD的这些缺陷又提出了集合经验模态分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)，该方法可以使分解的精度大大提高，广泛适用于故障检测领域。

EEMD分解原理为：因为原始信号的极值点分布非常不均匀，为了改善其不均匀度，可以通过添加正态且频谱均匀分布的高斯白噪声的方法来抑制模态混叠现象。因白噪声的能量在频谱上呈现正态分布的特点，可以根据自身特点自适应的分离到不同的尺度上，则原始信号可以以添加的白噪声为背景参考尺度，自动投射到相关白噪声的尺度上，这样就解决了极值点分布不均匀的缺点，不容易出现过包络或者欠包络的问题。此时，附加了白噪声的信号会使独立测试的结果变得更加复杂，零均值噪声可以解决这个问题，解决办法是通过多次加入白噪声进行平均后相互抵消来消除附加的白噪声，最终保留的部分便是信号本身。集合经验模态分解过程如下图所示。

3.Hilbert变换

Hilbert变换很早前已被提出用于非平稳数据处理，但希尔伯特变换得到的结果很大程度上失真。因此，它的应用被限制为简单的自由振动信号，直至Huang等人引入经验模态分解(EMD)方法对原始信号进行预处理，希尔伯特变换的价值才得以真正实现，从而一种基于希尔伯特-黄变换的方法被建立起来。

4.HHT

希尔伯特-黄变换(HHT：Hilbert-Huang Transform)是由Huang等人于1998年提出的一种新型时-频信号分析方法，用于分析非线形、非平稳数据。HHT方法由经验模态分解(EMD：Empirical Mode Decomposition)与希尔伯特变换(Hilbert Transform)两个部分组成。EMD为其核心部分，任何复杂数据通过EMD可分解为有限数量的内部模态函数(IMF：Intrinsic Mode Function)，IMF代表一个简单的振荡模态，具有以时间为函数的变化的振幅和频率，然后再进行Hilbert变换从而得到有实际物理意义的瞬时频率。

希尔伯特-黄变换具有多种优势：

(1)HHT能分析非线性非平稳信号。

传统的数据处理方法，如傅立叶变换只能处理线性非平稳的信号，小波变换虽然在理论上能处理非线性非平稳信号，但在实际算法实现中却只能处理线性非平稳信号。历史上还出现过不少信号处理方法，然而它们不是受线性束缚，就是受平稳性束缚，并不能完全意义上处理非线性非平稳信号。HHT则不同于这些传统方法，它彻底摆脱了线性和平稳性束缚，其适用于分析非线性非平稳信号。

(2)HHT具有完全自适应性。

HHT能够自适应产生“基”，即由“筛选”过程产生的IMF。这点不同于傅立叶变换和小波变换。傅立叶变换的基是三角函数，小波变换的基是满足“可容性条件”的小波基，小波基也是预先选定的。在实际工程中，如何选择小波基不是一件容易的事，选择不同的小波基可能产生不同的处理结果。我们也没有理由认为所选的小波基能够反映被分析数据或信号的特性。

(3)HHT不受Heisenberg测不准原理制约—适合突变信号。

傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换都受Heisenberg测不准原理制约，即时间窗口与频率窗口的乘积为一个常数。这就意味着如果要提高时间精度就得牺牲频率精度，反之亦然，故不能在时间和频率同时达到很高的精度，这就给信号分析处理带来一定的不便。而HHT不受Heisenberg测不准原理制约，它可以在时间和频率同时达到很高的精度，这使它非常适用于分析突变信号。

(4)HHT的瞬时频率是采用求导得到的。

傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换有一个共同的特点，就是预先选择基函数，其计算方式是通过与基函数的卷积产生的。HHT不同于这些方法，它借助Hilbert变换求得相位函数，再对相位函数求导产生瞬时频率。这样求出的瞬时频率是局部性的，而傅立叶变换的频率是全局性的，小波变换的频率是区域性的